Question

如圖1，直線AB的解析式為y=kx-6，且分式=0，以A點為頂點在第四象限做等腰直角三角形△ABC．

（1）求A點和C點的坐標．
（2）在第四象限是否存在一點P，使△PBA≌CAB？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．
（3）如圖2，Q為y軸負半軸上一個動點，當Q點向y軸負半軸向下運動時，以Q為頂點，在第三象限作等腰直角三角形△ADQ，過D作DE⊥x軸于E點，下列兩個結論：①OQ-DE的值不變，②OQ+DE的值不變．其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪一個結論正確，說出你的理由并求出其值．

Answer 1

（1）解：∵=0，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴y=2x-6，
當x=0時，y=-6，
當y=0時，x=3，
∴A（3，0），B（0，-6），
∴OA=3，OB=6，
過C作CE⊥x軸于E，
則∠AEC=90°=∠AOB，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠EAC=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAC，
∵∠AEC=∠AOB=90°，AB=AC，
∴△OBA≌△EAC，
∴CE=OA=3，AE=OB=6，
∴OE=3+6=9，
∴C（9，-3），
故A點和C點的坐標分別為：A（3，0），C（9，-3）．

（2）解：在第四象限內存在一點P，使△PBA≌CAB，
過P作PQ⊥y軸于Q，
∵與（1）中證明△OBA≌△EAC類似證出△PQB≌△BOA，
BQ=OA=3，PQ=OB=6，OQ=6+3=9，
∴P的坐標是（6，-9），
∴在第四象限內存在一點P，使△PBA≌CAB，P的坐標是（6，-9）．

（3）解：OQ-DE的值不變，
理由是：過D作DF⊥y軸于F，
∵∠DFQ=∠DQA=90°，
∴∠FDQ+∠FQD=90°，∠FQD+∠FQA=90°，
∴∠FDQ=∠FQA，
∵在△DFQ和△AOQ中
，
∴△DFQ≌△AOQ，
∴FQ=AO=3，
∵∠EOF=∠DFQ=∠DEO=90°，
∴四邊形DEOF是矩形，
∴DE=OF，
∴OQ-DE=FQ=3，
即OQ-DE的值不變，OQ-DE=3．
分析：（1）求出k，分別把x=0和y=0代入一次函數的解析式，求出A、B的坐標，求出OA、OB值，證△OBA≌△EAC，推出CE=OA=3，AE=OB=6，即可求出C的坐標；
（2）過P作PQ⊥y軸于Q，證出△PQB≌△BOA，推出BQ=OA=3，PQ=OB=6，求出OQ=9，即可得出P的坐標；
（3）過D作DF⊥y軸于F，求出∠FDQ=∠FQA，根據AAS證△DFQ≌△AOQ，推出FQ=AO=3，推出四邊形DEOF是矩形，得到DE=OF，即可求出OQ-DE=FQ=3，得出答案即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，一次函數上點的坐標特征，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，題目綜合性比較強，有一定的難度．