Question

已知：拋物線與軸的一個交點為．

(1)求拋物線與軸的另一個交點的坐標；

(2)是拋物線與軸的交點，是拋物線上的一點，且以為一底的梯形的面積為9，求此拋物線的解析式；

(3)是第二象限內到軸、軸的距離的比為5：2的點，如果點E在(2)中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側．問：在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使朋的周長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)由條件得拋物線的對稱軸為，

   而A與B關于對稱軸對稱

   則B點坐標為(一3，0)

(2)四邊形ABCD是梯形，則C、D關于對稱軸對稱，

    CD=4，AB=2，梯形的高為，

    由，解得

    將(-l，0)代入解析式得，

    所以拋物線解析式為．

 (3)根據條件設E點坐標為，

    將E點坐標代入解析式得，

    解得或(舍去)

    則點坐標為

AE 長度為定值，若使APAE的周長最小，實際上只需使最小即可．A點關于對稱軸的對稱點為B，連結BE，BE與對稱軸交點即為所求P點， 過BE的直線解析式為，當時，，所以