Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（2，0），B（﹣8，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣8）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點F是直線BC下方拋物線上的一點，當△BCF的面積最大時，求出點F的坐標；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請直接寫出點Q的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣8；（2）點F的坐標是F（﹣4，﹣12）；（3）點Q有坐標為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．

【解析】

（1）將A，B，C的坐標代入函數y＝ax2+bx+c即可；

（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，求出直線BC的解析式，設F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），再用含m的代數式表示出△BCF的面積，用函數的思想即可推出結論；

（3）此問要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三種情況進行討論，分別用勾股定理可求出m的值，進一步寫出點Q的坐標．

（1）將A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函數y＝ax2+bx+c，

得，

解得，，

∴拋物線解析式為y＝x2+3x﹣8；

（2）如圖1中，

作FN∥y軸交BC于N，

將B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，

得，k＝﹣1，

∴yBC＝﹣x﹣8，

設F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），

∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC

＝FN×8

＝4FN

＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]

＝﹣2m2﹣16m

＝﹣2（m+4）2+32，

∴當m＝﹣4時，△FBC的面積有最大值，

此時F（﹣4，﹣12），

∴點F的坐標是F（﹣4，﹣12）；

（3）存在點Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形，理由如下：

①如圖2﹣1，

當BQ＝BF時，

由題意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，

解得，m1＝，m2＝

∴Q1（0，），Q2（0，）；

②如圖2﹣2，

當QB＝QF時，

由題意可列，82+m2＝（m+12）2+42，

解題，m＝﹣4，

∴Q3（0，﹣4）；

③如圖2﹣3，

當FB＝FQ時，

由題意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，

解得，m1＝0，m2＝﹣24，

∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；

設直線BF的解析式為y＝kx+b，

將B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，

得，

解得，k＝﹣3，b＝﹣24，

∴yBF＝﹣3x﹣24，

當x＝0時，y＝﹣24，

∴點B，F，Q重合，故Q5舍去，

∴點Q有坐標為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．