Question

【題目】如圖，AB//CD,BD平分∠ABC，∠2=∠3，BC⊥AC于C,DH⊥AB于H, DH交AC 于F,O是AB的中點，則下列說法正確的有（ ）

①BC=CD ②∠4=30° ③AH=HF ④OF//BD

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據平行線的性質可判定①;根據平行線的性質和角平分線的性質可得AD=BC=CD，從而∠4=∠3，再根據三角形的內角和即可求出∠4的度數據此判斷②；根據∠3=30°可得AH與HF的關系即可判斷③；連接OD，OE,O是AB中點，結合平行四邊形的性質和等腰三角形的三線合一可得結論④.

解:∵AB//CD,BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2=∠BDC，

∴BC=CD

①正確；

∵∠2=∠3，

∴∠DCA=∠CDB

∴BE=AE,CE=ED,梯形ABCD為等腰梯形，AD=BC=CD，

∴∠4=∠DCA=∠3；

在三角形ABC中，∠1+∠2+∠3=90°

∴∠4=∠DCA=∠3=30°

故②正確.

∠3=30°，

∴AH:HF=:1,

故③錯誤；

連接OD，OE,O是AB中點，

∴OE⊥AB,BC=BO=CD,

∴四邊形BCDO為平行四邊形，

∴OD=BC=AD，DH⊥AB，三線合一，DH垂直平分AO,

∴∠FOA=∠FAO=30°=∠2,

∴OF//BD，

故④正確.

綜上可知選:C.