Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，AD＝2BD，ED與AB的延長線相交于點F，連接AD.

（1）求證：DE為⊙O的切線.

（2）求證：△FDB∽△FAD；

（3）若BF＝2，，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）3

【解析】

（1）連接OD，根據三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得EA＝ED，從而得出∠EDA＝∠EAD，通過OD＝OA，可得∠EDO＝∠EAO，再根據即可推出∠EDO＝90°，根據OD為⊙O的半徑，即可得證DE為⊙O的切線；

（2）根據DE為⊙O的切線，OD＝OB，推算出∠FDB＝∠FAD，∠F為公共角，即可證明△FDB∽△FAD；

（3）根據△FDB∽△FAD可得出AF＝8，根據即可求出⊙O的半徑．

（1）證明：連接OD，如圖所示：

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵E是AC的中點，

∴EA＝ED，

∴∠EDA＝∠EAD，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠EDO＝∠EAO，

∵AB⊥AC，

∴∠EAO＝90°，

∴∠EDO＝90°，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵DE為⊙O的切線，

∴∠ODF＝∠FDB＋∠ODB＝∠FAD＋∠OBD＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠FDB＝∠FAD，

又∵∠F為公共角，

∴△FDB∽△FAD，

（3）∵△FDB∽△FAD，

∴，且

∵BF＝2

∴＝.

∴DF＝4，AF＝8.

∴AB＝8－2＝6.

∴⊙O的半徑是3.