Question

已知：如圖，經過原點的拋物線的頂點為P，這條拋物線的對稱軸x=2與x軸相交于點A，點B、C在這條拋物線上，如果四邊形OABC是菱形，
（1）求∠AOC的度數；
（2）求以這條拋物線為圖象的二次函數的解析式；
（3）試探究：△ACP是否為直角三角形？并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可得BC∥AO，又由PA⊥AO，然后根據拋物線的對稱性可得：AC=AB則可證得△AOC是等邊三角形，即可求得∠AOC的度數；
（2）由（1）即可求得點C與D的坐標，即可設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx，然后利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；
（3）由（1）即可求得頂點P的坐標即可求得PA，PC，AC的長，然后由勾股定理的逆定理，即可判定△ACP是直角三角形．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AO．
∵PA⊥AO，
∴PA⊥BC．（1分）
由拋物線的對稱性可得：AC=AB．（1分）
∴AC=AO=OC．
∴∠AOC=60°．（1分）

（2）由（1）可得，點C的坐標為（1，

3

），點B的坐標為（3，

3

）．（2分）
設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx．
∵這個函數的圖象經過點B和點C，
∴

3 =a+b  3 =9a+3b

，
解得

a=- 3 3   b= 4 3 3

，（1分）
∴所求的二次函數的解析式為：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x．（1分）

（3）是．（1分）
證明：由條件得頂點P的坐標為（2，

4

3

3

），（1分）
∴PA=

4 3

3

，PC=

2 3

3

，AC=2．
∴PA²=PC²+AC²．（1分）
∴△ACP是直角三角形．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，菱形的性質，勾股定理的逆定理的應用等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．