Question

如圖，直線y=-2x+5分別與x、y軸交于點A、B，經過點C（-2，0）的直線y=x+b與y軸交于點D，且直線AB、CD交于點E．
（1）求點E的坐標．
（2）點Q（m，n）為線段AB上一點（與點E不重合），QM∥x軸，交直線CE于點M，設線段QM的長為d，寫出d與m的函數關系式（直接寫出相應m的取值范圍）．
（3）在（2）的條件下，點E關于直線QM的對稱點為F，當BFC=90°時，求點M的坐標．

Answer 1

（1）∵直線y=x+b經過點C（-2，0）
∴0=-2+bb=2
由

y=-2x+5 y=x+2

得

x=1 y=3

∴E（1，3）；

（2）∵點Q（m，n）為線段AB上一點，
∴n=-2m+5
如圖1，當點Q在BE上時，即0＜m＜1
∵QM∥x軸∴點M的縱坐標為n，將y=n代入y=x+2=n
解得：x=n-2
∴M（n-2，n）
QM=n-2-m=-2m+5-2-m=-3m+3（0＜m＜1）；
如圖2，當點Q在AE上時，即1＜m＜2.5
QM=3m-3（1＜m＜2.5）．

（3）如圖，過點F作GH⊥x軸于點H，作BG⊥GH于點G．
∵△BGH∽△FHC
∴BG：FH=GF：CH
∵點E、點F關于直線QM的對稱，
∴設F（1，k）則BG=1，GF=5-k，FH=k，CH=3
1：k=（5-k）：3即k²-5k+3=0
解得：k=

5± 13

2

n=

5± 13 2 +3

2

=

11± 13

4

，M（

3- 13

4

，

11- 13

4

）或M（

3+ 13

4

，

11+ 13

4

）．