Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數y=（k＞0）的圖象與AC邊交于點E．
（1）求證：AE•AO=BF•BO；
（2）若點E的坐標為（2，4），求經過O、E、F三點的拋物線的解析式；
（3）是否存在這樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出此時的OF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據反比例函數的性質得出，xy=k，即可得出AE•AO=BF•BO；
（2）利用E點坐標首先求出BF=，再利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（3）設折疊之后C點在OB上的對稱點為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點G，則根據折疊性質、相似三角形、勾股定理得出即可．
解答：（1）證明：∵E，F點都在反比例函數圖象上，
∴根據反比例函數的性質得出，xy=k，
∴AE•AO=BF•BO；

（2）解：∵點E的坐標為（2，4），
∴AE•AO=BF•BO=8，
∵BO=6，∴BF=，
∴F（6，），
分別代入二次函數解析式得：，
把c=0代入得：，

解得：，
可得原方程組的解為：，
∴y=-x²+x；

（3）解：設存在這樣的點F，將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB邊上的C'點，
過點E作EG⊥OB，垂足為G．
由題意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=得：x=k，把x=6代入y=得：y=k，
∴EC'=EC=6-k，C′F=CF=4-k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-k）：（4-k）=[3（2-k）]：[2（2-k）]，
∴C'B=，
∵C'B²+BF²=C'F²，
∴（^）2+（k）²=（4-k）²，
解得k=，
∴BF==，
∴存在符合條件的點F，它的坐標為（6，）．
∴FO==．
點評：此題主要考查了反比例函數的性質以及待定系數法求二次函數解析式以及相似三角形的判定與性質，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合以及利用相似三角形的性質是這部分考查的重點也是難點．