Question

如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=

m

x

的圖象相交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D．
（1）利用圖中條件，求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求∠OAB的度數；
（3）過A點作AE⊥x軸于點E，P是反比例函數y=

m

x

的圖象在第四象限上的一動點．當P運動時PO²+PE²-2PC²是否是一個定值？若是求其值，若改變說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據圖象，可得出一次函數和反比例函數y₂=

m

x

的圖象過（-2、1），（1，n），可得m、n的值，代入一次函數的解析式和反比例函數式，可得一次函數的解析式和反比例函數式．
（2）連接OB、OA，根據反比例函數的對稱性，可得OA=OB，利用（1）可易得出AB=

10

，利用余弦定理即可得出cos∠BAO=

BA

2OA

=

2

2

，即∠BAO=45°．
（3）設出點P的坐標，分別表示出各線段的平方，代入花間求解即可，得出結果為一定值．

解答：解：（1）根據題意，反比例函數y₂=

m

x

的圖象過（-2、1），（1，n）
易得m=-2，n=-2；
則y₁=kx+b的圖象也過點（-2、1），（1，2）；
代入解析式可得k=-1，b=-1；
故兩個函數的解析式為y₂=-

2

x

、y₁=-x-1；

（2）連接OB、OA，根據反比例函數的對稱性，
即有OA=OB=

5

，AB=3

2

，
即有cos∠BAO=

BA

2OA

=

3 10

10

，
即∠BAO≈19°．

（3）根據題意，可得E（-2，0），
又一次函數y₁=-x-1，y₁=0，得x=-1
即C（-1，0）
設點P（x，-

2

x

），即OP²=x²+

4

x2

，PE²=（x+2）²+

4

x2

，PC²=（x+1）²+

4

x2

，
即PO²+PE²-2PC²=x²+

4

x2

+（x+2）²+

4

x2

-2（x+1）²+2

4

x2

，
=x²+（x+2）²-2（x+1）²=2，為定值．

點評：本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題．
（1）反比例函數y=kx的圖象是雙曲線，當k＞0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；當k＜0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．
（2）一次函數y=kx+b的圖象有四種情況：①當k＞0，b＞0，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限；②當k＞0，b＜0，函數y=kx+b的圖象經過第一、三、四象限；③當k＜0，b＞0時，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、四象限；④當k＜0，b＜0時，函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限．