Question

已知點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂是關于x的方程（a²+a）x²-（2a+1）x+1=0的兩根，當正整數a=1，2，…，2010時，分別把線段AB記為A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，則這2010條線段的總長度和為

 

．

Answer 1

分析：解關于x的方程（a²+a）x²-（2a+1）x+1=0得x₁=

1

a

，x₂=

1

a+1

，A_aB_a=

1

a

-

1

a+1

，將a=1，2，…，2010分別代入求和．注意觀察抵消規律．

解答：解：解方程（a²+a）x²-（2a+1）x+1=0得x₁=

1

a

，x₂=

1

a+1

，
∴A_aB_a=

1

a

-

1

a+1

，將a=1，2，…，2010分別代入得，
A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

，
=1-

1

2011

=

2010

2011

．
故答案為：

2010

2011

．

點評：本題考查了一元二次方程的根與系數的關系．關鍵是通過解方程求出線段長的一般規律．