Question

已知：如圖，二次函數圖象的頂點坐標為C（1，-2），直線y=kx+m的圖象與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標為（3，0），B點在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數的圖象交于點E．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設點P的橫坐標為x，求線段PE的長（用含x 的代數式表示）；
（3）點D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，若以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似，請求出P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，由A點坐標為（3，0），則可將A點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法即可求得這個二次函數的解析式；
（2）首先利用待定系數法求得直線AB的解析式，然后由P在直線上，將x代入直線方程，即可求得P的縱坐標，又由E在拋物線上，則可求得E的縱坐標，它們的差即為PE的長；
（3）分別從當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP與當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP兩種情況去分析，注意利用相似三角形的對應邊成比例等性質，即可求得答案，注意不要漏解．

解答：解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在拋物線上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x-1）²-2，

（2）拋物線與y軸交點B的坐標為（0，-

3

2

），
設直線AB的解析式為y=kx+m，
∴

3k+m=0 m=- 3 2

，
∴

k= 1 2 m=- 3 2

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x-

3

2

．
∵P為線段AB上的一個動點，
∴P點坐標為（x，

1

2

x-

3

2

）．（0＜x＜3）
由題意可知PE∥y軸，∴E點坐標為（x，

1

2

x²-x-

3

2

），
∵0＜x＜3，
∴PE=（

1

2

x-

3

2

）-（

1

2

x²-x-

3

2

）=-

1

2

x²+

3

2

x，

（3）由題意可知D點橫坐標為x=1，又D點在直線AB上，
∴D點坐標（1，-1）．
①當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP，
∴

AB

OB

=

PE

DP

．
過點D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴

DP

DQ

=

AB

OA

，
又OA=3，OB=

3

2

，AB=

3 5

2

，
又DQ=x-1，
∴DP=

5

2

（x-1），
∴

3 5 2

3 2

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

5 2 (x-1)

，
解得：x=-1±

6

（負值舍去）．
∴P（

6

-1，

6 -4

2

）（如圖中的P₁點）；
②當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，
∴

OA

OB

=

DE

PE

．
由（2）PE=-

1

2

x²+

3

2

x，DE=x-1，
∴

3 2

3

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

x-1

，
解得：x=1±

2

，（負值舍去）．
∴P（1+

2

，

2

2

-1）（如圖中的P₂點）；
綜上所述，P點坐標為（

6

-1，

6 -4

2

）或（1+

2

，

2

2

-1）．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，線段的長度的求解方法，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想，分類討論思想與數形結合思想的應用．