Question

如圖，A、B、C、P四點均在邊長為1的小正方形網格格點上．

（1）判斷△PBA與△ABC是否相似，并說明理由；
（2）求∠BAC的度數；
（3）在線段BC所經過的格點上是否存在一點Q（點P除外），使得以A、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請標出點Q的位置，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）△PBA與△ABC相似，
理由如下：
∵AB==，BC=5，BP=1，
∴=，
∵∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC；
（2）∵△PBA∽△ABC，
∴∠BAC=∠BPA，
∵∠BPA=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°．
（3）存在，理由如下：如圖所示：
∵BC=5，QC=2，AC=，
∴，
又∵∠QCA=∠ACB，
∴△QCA∽△ABC．
分析：（1）△PBA與△ABC相似，利用勾股定理計算出AB的長，利用由兩邊的比值和一個夾角相等的兩個三角形相似可證明結論成立；
（2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因為∠BPA易求，問題得解；
（3）在線段BC所經過的格點上存在一點Q（點P除外），使得以A、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似．
點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了相似三角形的證明和相似三角形對應邊比值相等的性質，本題中分別求AB，BC，BP三邊長是解題的關鍵．