Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是線段BC上任意一點，以點P為圓心PB為半徑的圓與線段AB相交于點Q（點Q與點A、B不重合），∠CPQ的角平分線與AC相交于點D．

（1）如果DQ=PB，求證：四邊形BQDP是平行四邊形；

（2）設PB=x，△DPQ的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）如果△ADQ是以DQ為腰的等腰三角形，求PB的長．

Answer 1

【答案】（1） 見解析；（2）； （3）4或或

【解析】

（1）根據角平分線的性質得到∠CPD=∠QPD，由DQ=PB=PQ得到∠QDP=∠QPD推出DQ∥BP，再根據DQ=BP推出四邊形BQDP是平行四邊形；

（2）先根據勾股定理求出AB=10，過點P作PH⊥AB于H，證明△BHP∽△BCA，求出BH=，HP=，根據同位角相等證明PD∥AB得到CD=，過點Q作QE⊥AC于E，利用三角函數求出QE=，再根據即可求出函數解析式，根據圖形中各邊都大于0得到不等式組求出x的取值范圍；

（3）設PB=a，過點P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，則AQ=10-，分三種情況：①當AD=DQ時，②當AQ=DQ時，③當AD=AQ=10-時，分別求出a即可.

（1）∵∠CPQ的角平分線與AC相交于點D，

∴∠CPD=∠QPD，

∵DQ=PB=PQ，

∴∠QDP=∠QPD，

∴∠QDP=∠CPD，

∴DQ∥BP，

∵DQ=BP，

∴四邊形BQDP是平行四邊形；

（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

過點P作PH⊥AB于H，

∴∠BHP=∠C=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BHP∽△BCA，

∴，

∴，

∴BH=，HP=，

∴BQ=2BH=，

∵PB=PQ，

∴∠B=∠BQP，

∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP，

∴∠CPQ=∠B，

∴PD∥AB，

∴，

∴，

∴CD=，

∴，

過點Q作QE⊥AC于E，

∵AQ=10-，

∴QE=，

∴

=

=

∵，解得，

∴；

（3）設PB=a，

過點P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，∴AQ=10-，

①當AD=DQ時，如圖，過點D作DF⊥AB于F，則AF=，

∴，

∴CD=，

∵PD∥AB，

∴,

∴，

解得a=4，

②當AQ=DQ時，過點Q作QM⊥AC于M，

∴AM===，

∴AD=2AM=，

∴CD=6-AD=,

∵PD∥AB，

∴,

∴,

解得a=；

③當AD=AQ=10-時，則CD=6-AD=-4，

∵PD∥AB，

∴,

∴，

解得a=.