Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8，AB=CD=10，BC=20．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）若點P從點B沿著B-C方向在BC邊上以每秒2個單位的速度運動；點Q從點C沿著C-D-A的方向在CD、DA邊以每秒2個單位的速度運動．若P、Q兩點同時運動，當Q點到達A點時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t秒．
①在運動過程中是否存在四邊形ABPQ是平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
②當t為何值時，△ABP為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）要求梯形的面積，有上下底邊的長，求出高即可，作高，在直角三角形中，運用勾股定理即可．
（2）①要使四邊形ABPQ是平行四邊形，則Q點必須在AD上，利用時間關系建立等式，解出時間t，看是否符合條件；
②△ABP為等腰三角形，則可能AB=AP，AB=BP或AP=BP，應分別進行討論．

解答：解：（1）如圖所示，過點A作等腰梯形的高AE
在Rt△ABE中，可得AE=8，
S_梯形ABCD=

1

2

（8+20）•8=112；

（2）①若四邊形ABPQ是平行四邊形，則點Q必須在AD上，
假設其存在，
則由題意可得，2t=8-2（t-5），
解之得，t=4.5
因為4.5-5＜0，
所以運動過程中不存在這樣的時刻使四邊形ABPQ是平行四邊形．
②要使△ABP為等腰三角形，可能AB=BP，AB=AP或AP=BP
當AB=BP時，即2t=10，解之得，t=5
當AB=AP時，由（1）可得，BP=12，即2t=12，t=6
當AP=BP時，如圖所示，PE⊥AB
∵AB=10，∴BE=5，在Rt△PBE中，由（1）可求出∠B，
設BE=3x=5，則BP=5x，即2t=5x，
解之得，t=

25

6

，
∴當t=5，t=6，t=

25

6

時，△ABP均為等腰三角形．

點評：熟練掌握等腰梯形的性質及判定．掌握平行四邊形的判定定理，要使一個三角形為等腰三角形，則存在多種情況，應分類進行討論．