Question

如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為(－8，0)，點N的坐標為(－6，－4)．

(1)畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉180°的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標(點M的對應點為A，點N的對應點為B，點H的對應點為C)；

(2)求出過A，B，C三點的拋物線的表達式；

(3)截取CE＝OF＝AG＝m，且E，F，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；

(4)在(3)的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)利用中心對稱性質，畫出梯形OABC　　1分 　　∵A，B，C三點與M，N，H分別關于點O中心對稱， 　　∴A(0，4)，B(6，4)，C(8，0)　　3分 　　(寫錯一個點的坐標扣1分) 　　(2)設過A，B，C三點的拋物線關系式為， 　　∵拋物線過點A(0，4)， 　　∴c＝4．則拋物線關系式為y＝ax2＋bx＋4　　4分 　　將B(6，4)，C(8，0)兩點坐標代入關系式，得 　　　　5分 　　解得　　6分 　　所求拋物線關系式為：　　7分 　　(3)∵OA＝4，OC＝8，∴AF＝4－m，OE＝8－m　　8分 　　∴ 　　OA(AB＋OCAF·AGOE·OFCE·OA 　　 　　(0＜m＜4)　　10分 　　∵．∴當時，S的取最小值． 　　又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值　　12分 　　(4)當時，GB＝GF，當m＝2時，BE＝BG　　14分