Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=2cm，點P為弧AB上一動點（不與A，B重合）， = ，過點D作⊙O的切線交PB的延長線于點C．
（1）試證明AB∥CD；
（2）填空： ①當BP=1cm時，PD=cm；
②當BP=cm時，四邊形ABCD是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵CD是⊙O的切線，

∴OD⊥CD，

∵ = ，

∴∠AOD=∠BOD=90°，

∴OD⊥AB，

∴AB∥CD．

（2） + ；
【解析】（2）解：①作DE⊥AP于E，DF⊥PC于F．

∵ = ，

∴∠APD=∠DPB，

∴DE=DF，

∵AB是直徑，

∴∠APB=90°，

∴∠EPD=∠FPD=45°，易知四邊形PEDF是正方形，

∵AD=BD，DE=DF，

∴Rt△DEA≌Rt△DFB，

∴AE=BF，

在Rt△PAB中，∵AB=2cm，PB=1cm，

∴PA= = ，

∴PA+PB=PE+AE+PF﹣BF=2PE=1+ ，

∴PD= PE=（ + ）cm．

所以答案是 + ．②當P是 中點時，DC=2OB=AB，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

易知BD= OB= cm，

所以答案是 ．

【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的判定和切線的性質定理，需要了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．