Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D是三角形外一動點，滿足∠ADB=60°，
（1）當D點在AC的垂直平分線上時，求證：DA+DC=DB；

（2）當D點不在AC的垂直平分線上時，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；

（3）當D點在如圖的位置時，直接寫出DA，DC，DB的數量關系，不必證明．

Answer 1

證明：（1）點D只能在AC的下邊，容易得到BD是AC的中垂線，因此AD=DC，∠ABD=30°，
在三角形內由正弦定理可以得到=，
可以很快得到BD=2AD=AD+AC；

（2）延長DA到E，使得∠EBD=60，
又因為∠ADB=60°
因此△EBD是一個等邊三角形，
所以BE=ED=BD，∠EBD=60°，
又因為△ABC是等邊三角形，
所以AB=BC，∠ABC=60°，
所以∠EBA=∠DBC，
在△EBA與△DBC中，
因為，
所以△ABE≌△CBD（SAS），
因此EA=DC，
所以BD=ED=EA+AD=DC+AD；

（3）DC=DA+DB．
分析：（1）根據線段垂直平分線和等邊三角形的性質可得AD=DC，∠ABD=30°，再由正弦定理可以證明DA+DC=DB；
（2）延長DA到E，使得∠EBD=60，由已知可知△EBD是一個等邊三角形，再證明△EBD≌△CBD，得出EA=DC，從而證明BD=ED=EA+AD=DC+AD；
（3）可直接得DA，DC，DB的數量關系．
點評：本題綜合考查了線段垂直平分線和等邊三角形的性質，同時考查了正弦定理和全等三角形的判定與性質，由于等邊三角形的特殊性第（2）題的結論在等邊三角形的其它邊同樣適用．