Question

已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，點D是斜邊的中點，經過點C引一條直線l（不與AC、BC重合并且不經過點D）
操作：經過點A作AE⊥l，經過點B作BF⊥l，連接DE、DF，猜想△DEF的形狀并證明．

Answer 1

解：△DEF為等腰直角三角形；
證明：如圖，連接CD，∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∵∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE與△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，∠CAE=∠BCF，
∵∠CAB=∠DCB=45°，
∴∠FCD=∠DAE，
又AD=CD，
∴△AED≌△CFD，
∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形．
分析：可先證明Rt△ACE與Rt△CBF全等，再通過邊角關系證明△AED≌△CFD，進而可得AE與DE相等，即為等腰三角形．
點評：本題考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定與性質；熟練掌握三角形全等的判定，能夠運用三角形的全等得出線段相等，對應角相等，作出輔助線是解答本題的關鍵．