【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,B點坐標為(4,0),與y軸交于點C(0,4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PE+EF的最大值;
(3)點D為拋物線對稱軸上一點.
①當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,直接寫出點D的坐標;
②若△BCD是銳角三角形,直接寫出點D的縱坐標n的取值范圍.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4;(2)PE+EF的最大值為;(3)①符合條件的點D的坐標是(
,
)或(
,﹣
);②點D的縱坐標的取值范圍為
<y<
或﹣
<y<
.
【解析】(1)利用待定系數法求拋物線的解析式;
(2)易得BC的解析式為y=﹣x+4,先證明△ECF為等腰直角三角形,作PH⊥y軸于H,PG∥y軸交BC于G,如圖1,則△EPG為等腰直角三角形,PE=PG,設P(t,t2﹣4t+3)(1<t<3),則G(t,﹣t+3),接著利用t表示PF、PE,所以PE+EF=2PE+PF=﹣
t2+5
t,然后利用二次函數的性質解決問題;
(3)①如圖2,拋物線的對稱軸為直線x=﹣點D的縱坐標的取值范圍;
②由于△BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+(y﹣3)2+1+y2=18,解得y1=,y2=
,得到此時D點坐標為(
,
)或(
,
),然后結合圖形可確定△BCD是銳角三角形時點D的縱坐標的取值范圍.
(1)把B(4,0),C(0,4)代入y=x2+bx+c,得
,
解得 ,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4;
(2)由B(4,0),C(0,4),根據待定系數法易得BC的解析式為y=﹣x+4,
∵直線y=x+m與直線y=x平行,
∴直線y=﹣x+4與直線y=x+m垂直,
∴∠CEF=90°,
∴△ECF為等腰直角三角形,
作PH⊥y軸于H,PG∥y軸交BC于G,如圖1,△EPG為等腰直角三角形,PE=PG,
設P(t,t2﹣5t+4)(1<t<4),則G(t,﹣t+4),
∴PF=PH=
t,PG=﹣t+4﹣(t2﹣5t+4)=﹣t2+4t,
∴PE=PG=﹣
t2+2
t,
∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4
t+
t=﹣
t2+5
t=﹣
(t﹣
)2+
,
當t=時,PE+EF的最大值為
;
(3)①如圖2,拋物線的對稱軸為直線x=,
設D(,y),則BC2=42+42=32,DC2=(
)2+(y﹣4)2,BD2=(4﹣
)2+y2=
+y2,
當△BCD是以BC為直角邊,BD為斜邊的直角三角形時,BC2+DC2=BD2,
即32+()2+(y﹣4)2=
+y2,解得y=5,此時D點坐標為(
,
);
當△BCD是以BC為直角邊,CD為斜邊的直角三角形時,BC2+DB2=DC2,
即32++y2=(
)2+(y﹣4)2,解得y=﹣1,此時D點坐標為(
,﹣
);
綜上所述,符合條件的點D的坐標是(,
)或(
,﹣
);
②當△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時,DC2+DB2=BC2,即()2+(y﹣4)2+
+y2=32,解得y1=
,y2=
,此時D點坐標為(
,
)或(
,
),
所以△BCD是銳角三角形,點D的縱坐標的取值范圍為<y<
或﹣
<y<
.
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【題目】已知含字母m,n的代數式是: .
(1)化簡這個代數式.
(2)小明取m,n互為倒數的一對數值代入化簡的代數式中,恰好計算得代數式的值等于0.那么小明所取的字母n的值等于多少?
(3)聰明的小智從化簡的代數式中發現,只要字母n取一個固定的數,無論字母m取何數,代數式的值恒為一個不變的數,那么小智所取的字母n的值是多少呢?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.求證:(1)△BDA≌△AEC;(2)DE=BD+CE.
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【題目】如圖,ABCD的對角線AC、BD交于點O,AE平分∠BAD交BC于點E,且∠ADC=60°,AB=BC,連接OE.下列結論:①∠CAD=30°;②SABCD=ABAC;③OB=AB;④OE=
BC,成立的個數有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】甲、乙兩位同學在一次實驗中統計了某一結果出現的頻率,給出的統計圖如圖所示,則 符合這一結果的實驗可能是( )
A. 擲一枚正六面體的骰子,出現6點的概率
B. 擲一枚硬幣,出現正面朝上的概率
C. 任意寫出一個整數,能被2整除的概率
D. 一個袋子中裝著只有顏色不同,其他都相同的兩個紅球和一個黃球,從中任意取出一個是黃球的概率
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【題目】如圖,將兩塊直角三角板的直角頂點C疊放在一起.
(1)若∠DCE=30°,求∠ACB的度數;
(2)試判斷∠ACE與∠BCD的大小關系,并說明理由;
(3)猜想∠ACB與∠DCE的數量關系,并說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A點是(-6,0),B點是(0,8),動點P從點B出發,在BA邊上以每秒5個單位的速度向點A作勻速運動,同時動點Q從點O出發,在OB邊上以每秒4個單位的速度向點B作勻速運動,設運動時間為t秒(0<t<2),連接PQ.
(1)如1圖,設△BPQ的面積為y,求y與t的函婁關系式;
(2)如2圖,連接AQ、OP,如果AQ⊥OP,求t的值;
(3)設PQ的中點為D點,則D點一定在直線________上.
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