Question

已知，點C在以AB為直徑的半圓上，∠CAB的平分線AD交BC于點D，⊙O經過A、D兩點，且圓心O在AB上．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若，，求⊙O的面積．

Answer 1

解：（1）連接OD．
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴BD是⊙O的切線．

（2）∵，
∴AB=4AC，
∵BC²=AB²-AC²，
∴15AC²=80，
∴AC=，
∴AB=4．
設⊙O的半徑為r，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴
∴，解得：r=
∴πr²=π•（）²=，
∴⊙O的面積為．
分析：（1）連接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根據切線判定推出即可；
（2）根據勾股定理求出AC=，AB=4．設⊙O的半徑為r，證△BOD∽△BAC，得出，代入求出r即可．
點評：本題考查了切線的判定，平行線的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，圓的面積，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生的綜合運用性質進行推理和計算的能力．