Question

已知關于x的方程x²-（k+2）x+

1

4

k²+1=0
（1）k取什么值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）如果方程的兩個實數根x₁、x₂（x₁＜x₂）滿足x₁+|x₂|=3，求k的值和方程的兩根．

Answer 1

分析：（1）由于方程有兩個不相等的實數根，所以方程的判別式是正數，一次即可確定k的取值范圍；
（2）由于方程的兩個實數根x₁、x₂（x₁＜x₂）滿足x₁+|x₂|=3，通過分類討論去掉絕對值的符號，然后利用根與系數的關系即可求出k的值和方程的兩個根．

解答：解：（1）在已知一元二次方程中，
a=1，b=-（k+2），c=（

1

4

k²+1），
又由△=b²-4ac
=[-（k+2）]²-4（

1

4

k²+1）
=k²+4k+4-k²-4（3分）=4k＞0，
得k＞0，
即k＞0時方程有兩個不相等的實數根；
〖無（1分）、（3分）所在行之中間步驟，即跳過此步不扣分，余同〗

（2）法一：由x1，2=

-b± b2-4ac

2a

=

k+2± 4k

2

，（6分）
∵x₁＜x₂，k＞0，（7分）
∴x2=

-b+ b2-4ac

2a

=

k+2+ 4k

2

＞0（8分）
∴|x₂|=x₂．（9分）
由x₁+|x₂|=3，得x₁+x₂=3，
由根與系數關得k+2=3．
即k=1（10分）
此時，原方程化為x²-3x+

5

4

=0，（11分）
解此方程得，x₁=

1

2

，x₂=

5

2

，（12分）
法二：由x₁x₂=

1

4

k²+1＞0，（6分）
又∵k＞0，
∴x₁+x₂=k+2＞0，（7分）
∴x₁＞0，x₂＞0；（8分）
∴|x₂|=x₂．（9分）
下同法一．

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，在解不等式時一定要注意數值的正負與不等號的變化關系．