Question

【題目】如圖，點A的坐標為（0，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，取BC的中點P．當點B從點O向x軸正半軸移動到點M（2，0）時，則點P移動的路線長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖所示，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，則∠DPE=90°，∠AEP=∠BDP=90°，
連接AP，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，
∴AP= BC=BP，且AP⊥BC，即∠APB=90°，
∴∠APE=∠BPD，
在△AEP和△BDP中，
，
∴△AEP≌△BDP（AAS），
∴PE=PD，
∴點P的運動路徑是∠AOM的角平分線，
如圖所示，當點B與點O重合時，AB=AO=1，OC= ，
∴OP= OC= ；

如圖所示，當點B與點M重合時，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，連接OP，

由△AEP≌△BDP，可得AE=BD，
設AE=BD=x，則OE=1+x，OD=2﹣x，
∵矩形ODPE中，PE=PD，
∴四邊形ODPE是正方形，
∴OD=OE，即2﹣x=1+x，
解得x= ，
∴OD=2﹣ = ，
∴等腰Rt△OPD中，OP= OD= ，
∴當點B從點O向x軸正半軸移動到點M時，則點P移動的路線長為 ﹣ = ．
故答案為： ．
先過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，根據△AEP≌△BDP（AAS），得出PE=PD，進而得到點P的運動路徑是∠AOM的角平分線，再分別求得當點B與點O重合時，OP= OC= ，當點B與點M重合時，OP= OD= ，進而得到點P移動的路線長．