Question

如圖①，在平面直角坐標系中，已知△ABC是等邊三角形，點B的坐標為（12，0），動點P在線段AB上從點A向點B以每秒個單位的速度運動，設運動時間為t秒．以點P為頂點，作等邊△PMN，點M，N在x軸上．

1.當t為何值時，點M與點O重合．

2.求點P坐標和等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示）．

3.如果取OB的中點D，以OD為邊在△AOB內部作如圖②所示的矩形ODEF，點E在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODEF重疊部分的面積為S，請求出當秒時S與的函數關系式，并求出S的最大值．

 

Answer 1

 

1.（1）如圖①，點M與點O重合．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABO=30°，∠BAO=60°．由OB=12，∴AB=8，AO=4．

∵△PON是等邊三角形，∴∠PON=60°．∴∠AOP=60°．∴AO=2AP，即4=2t．解得t=2．∴當t=2時，點M與點O重合．

2.（2）如圖②，過P分別作PQ⊥OA于點Q，PS⊥OB于點S．

可求得AQ=AP=，PS=QO=4－．

∴點P坐標為（，4－）．       ………………6分

在Rt△PMS中，sin60°=，

∴PM=（4－）÷=8－t．

3.（3）（Ⅰ）當0≤t≤1時，見圖③．

設PN交EF于點G，則重疊部分為直角梯形FONG，作GH⊥OB于點H．

∵∠GNH＝60°，GH=2，∴HN=2．∵MP=8－t，∴BM=2MP=16－2t．

∴OM=BM－OB=16－2t－12=4－2t．∴ON=MN－OM=8－t－（4－2t）=4＋t．

∴FG=OH=ON－HN=4＋t－2=2＋t． ∴S=(2＋t＋4＋t)×2=2t＋6．

∵S隨t的增大而增大，∴當t=1時，S_最大=8．…10分

（Ⅱ）當1＜t≤2時，見圖④．設PM交EF于點I，交FO于點Q，PN交EF于點G．

重疊部分為五邊形OQIGN．

OQ=4－2t，FQ=2－(4－2t)= 2t－2，

FI=FQ=2t－2．

∴三角形QFP的面積=(2t－2)(2t－2)=2(t²－2t＋1)．

由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面積=2t＋6，

∴S=2t＋6－2(t²－2t＋1)=－2(t²－3t－2)．

∵－2＜0，∴當t=時，S有最大值，S_最大=．

綜上所述：當0≤t≤1時，S=2t＋6；當1＜t≤2時，S=－2t²＋6t＋4；

∵＞8，∴S的最大值是．

            

解析:略