Question

【題目】如圖，在直角中，，，作的平分線交于點，在上取點，以點為圓心經過、兩點畫圓分別與、相交于點、（異于點）．

（1）求證：是的切線；

（2）若點恰好是的中點，求的長；

（3）若的長為．

①求的半徑長；

②點關于軸對稱后得到點，求與的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①或；②或

【解析】

（1）連接DO，如圖，先根據角平分線的定義以及平行線的性質，得出∠1=∠3，從而得到DO∥BC，再根據∠C=90°，可得出結果；

（2）連接FO，根據E為中點，可以得出，在Rt△AOD中，可以求出sinA的值，從而得出∠A的度數，再證明△BOF為等邊三角形，從而得出∠BOF的度數，根據弧長公式可得出結果；

（3）①設圓的半徑為r，過作于，則，四邊形是矩形．再證明，得出，據此列方程求解；

②作出點F關于BD的對稱點F′，連接DE，DF，DF′，FF′，再證明，最后根據相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．

（1）證明：連結，

∵平分，∴，

∵，∴．∴．∴．

∵，∴．

∴是的切線．

（2）解：∵是中點，∴．

∴，∴，．

連接FO，

又BO=OF，∴△BOF為等邊三角形，

∴．

∴．

（3）解：①過作于，則，四邊形是矩形．

設圓的半徑為，則，．

∵，∴．

而，∴．

∴即，

解之得，．

②作出點F關于BD的對稱點F′，連接FF′，DE，DF，DF′，

∵∠EBD=∠FBD，∴．

∵是直徑，∴，

而、關于軸對稱，∴，，DF=DF′，

∴DE∥FF′，DE=DF′，∠DEF′=∠DF′E，

∴，

∴.

當時，，，，

由①知，而，

∴.

又易得△BCD∽△BDE,∴，∴BD2=.

在Rt△BED中，DE2=BE2-BD2=4-=，∴DE==DF′.

∴與的面積比．

同理可得，當時，與的面積比．

∴與的面積比為或．