Question

【題目】如圖，∠MAN＝30°，點C、B分別在射線AM、AN上，AB＝6，∠ACB＝30°．動點P從點A出發，沿射線AN以每秒3個單位長度的速度運動．過點P作PQ⊥AN交射線AM于點Q，點E是線段AQ的中點，連結PE．設△PQE與△ABC重疊部分圖形的面積為S平方單位，點P的運動時間為t秒（t＞O）．

（1）求PQ的長（用含t的代數式表示）．

（2）當點Q在邊AC上時，求S與t之間的函數關系式．

（3）當△PQE與△ABC重疊部分圖形是一個面積為的三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）t＝1或t＝6﹣

【解析】

(1)在直角三角形根據正切公式直接求.

(2)分類討論當t不同時，兩者的關系，再綜合描述即可.

(3) 分類討論當t不同時，形成固定面積三角形時的t值即可.

解：（1）在Rt△APQ中，∠MAN＝30°，AP＝3t，

∴PQ＝APtan∠MAN＝t；

（2）當0＜t≤2時，如圖，

∵點E是線段AQ的中點，

S＝S△APQ＝×AP×PQ＝×3t×t＝t2，

當2＜t≤3時，如圖2，

∵∠MAN＝30°，∠ACB＝30°，

∴∠CBP＝60°，

∵PQ⊥AN，點E是線段AQ的中點，

∴EA＝EP，

∴∠EPA＝∠A＝30°，

∴∠BGP＝90°，

由題意得，BP＝3t﹣6，

∴PG＝（3t﹣6），

∴GH＝×（3t﹣6）＝（3t﹣6），

∴S△PGH＝×GP×GH＝（3t﹣6）2，

∴S＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣t2+t﹣；

（3）當0＜t≤2時， t2＝，

解得，t1＝1，t2＝﹣1（不合題意，舍去），

當2＜t≤3時，△PQE與△ABC重疊部分圖形是四邊形．

當3＜t≤6時，S＝（6﹣t）2＝（6﹣t）2，

則（6﹣t）2＝，

解得，t1＝6﹣，t2＝6+（不合題意，舍去）．

綜上，t＝1或t＝6﹣．