Question

【題目】如圖,矩形紙片ABCD,P是AB的中點,Q是BC上一動點,△BPQ沿PQ折疊,點B落在點E處,延長QE交AD于M點,連接PM.

(1)求證:△PAM≌△PEM;

(2)當DQ⊥PQ時,將△CQD沿DQ折疊,點C落在線段EQ上點F處.

①求證:△PAM∽△DCQ;

②如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）①見解析，②6

【解析】

（1）由矩形的性質及折疊的性質可得PE=PB，∠PEM=∠B=90°，由P點為AB中點可得PA=PB=PE，因為有公共邊PM，所以利用HL即可證明△PAM≌△PEM；（2）①由（1）可得∠APM=∠EPM，根據折疊性質可得∠EPQ=∠BPQ，由∠B=90°，DQ⊥PQ可得∠BPQ+∠PQB=90°，∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.進而可證明∠AMP=∠DQC，即可證明△PAM∽△DCQ；②設AP=x，則BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，根據△AMP∽△BPQ可得BQ=x2，根據△AMP∽△CQD得CQ=2，進而可得AD=x2+2，根據sin∠DMF=列方程即可求出x的值，根據AB=2AP即可得答案.

(1)∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=90°，根據折疊的性質可知：PE=PB，∠PEM=∠B=90°；

∵P點為AB中點，

∴PA=PB=PE.

又∵PM=PM，

∴△PAM≌△PEM.

(2)①由(1)知△PAM≌△PEM,

∴∠APM=∠EPM.

根據折疊的性質可知:∠EPQ=∠BPQ,

∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,

∵∠APM+∠AMP=90°，

∴∠BPQ=∠AMP，

∵∠B=90°，DQ⊥PQ,

∴∠BPQ+∠PQB=90°，∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.

∴∠BPQ=∠DQC，

∴∠AMP=∠DQC.

又∵∠A=∠C=90°，

∴△AMP∽△CQD.

②設AP=x，則BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，

∵由①知∠BPQ=∠AMP，∠A=∠B=90°，

∴△AMP∽△BPQ.

∴，即BQ=x2.

由△AMP∽△CQD得：，即CQ=2.

AD=BC=BQ+CQ=x2+2.

∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=，DF=DC=2x，

∴，

變形得：3x2-10x+3=0,

解方程得：x1=3，x2=(不合題意，舍去)

∴AB=2x=6.