Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A（3，0），B（0，1）

（1）將△ABC沿x軸的正方向平移t個單位，B、C兩點的對應點B′、C′正好落在反比例函數y=的圖象上．請直接寫出C點的坐標和t，k的值；

（2）有一個Rt△DEF，∠D=90°，∠E=60°，DE=2，將它放在直角坐標系中，使斜邊EF在x軸上，直角頂點D在（1）中的反比例函數圖象上，求點F的坐標；

（3）在（1）的條件下，問是否存在x軸上的點M和反比例函數y=圖象上的點N，使得以B′、C′、M、N為頂點的四邊形構成平行四邊形?如果存在，直接寫出所有滿足條件的點M和點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（4，3），t=6，k=6；（2）滿足條件的點F的坐標為（3，0）或（+3，0）；（3）存在，點N（3，2），M（7，0）時，四邊形MNC′B′是平行四邊形，當N′（3，2），M（7，0）時，四邊形M′N′B′C′是平行四邊形

【解析】

（1）過C點作CH⊥x軸，構造△CAH≌△ABO，從而確定C點坐標，根據坐標平移規律沿x軸的正方向平移t個單位可得B′（t、1）、C′（-4+t，3），根據反比例函數性質可求出t，然后可求出k；
（2）分情況畫出斜邊在x軸，直角頂點D在反比例圖象上，先求出直角三角形斜邊的高，即D點的y值，即可解決問題．
（3）分兩種情形：①線段B′C′為平行四邊形的邊時．②線段B′C′是對角線時，分別求解即可．

（1）如圖1中，過C點作CH⊥x軸，垂足為H，

∵∠BAC=∠AOB=∠CHA=90°，

∴∠CAH+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠CAH=∠ABO，

∵AC=AB，

∴△CHA≌△AOB（AAS），

∴AH=OB=1，OA=CH=3，

∴C（4，3），B（0，1），

由題意（4+t，3），（t，1），

∵,都在y=上，

∴（4+t）×3=t×1，

∴t=6，

∴（6，1），

∴k=6．

（2）如圖2中，作DH⊥x軸于H．

在Rt△DEF中，∵∠EDF=90°，∠DEF=60°，DE=2，

∴EF=4，DF=，

∵DFDE=EFDH，

∴DH=，

∴FH=3，EH=1，D（，），

∴OF=3，

∴F（3，0），

當點在點右側時，（+3，0）．

綜上所述，滿足條件的點F的坐標為（3，0）或（+3，0）．

（3）由（1）可知：（6，1），（2，3）．

當點N（3，2），M（7，0）時，四邊形是平行四邊形，

當（3，2），M（7，0）時，四邊形是平行四邊形．