Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過A作AF⊥AE，交CB延長線于點F．AE的延長線交BC的延長線于點G．

（1）求證：AE=AF；

（2）若AF=7，DE=2，求EG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】分析：（1）首先利用余角的性質證明∠FAB=∠DAE，然后利用ASA即可證明△ABF≌△ADE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得；

（2）在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，則EC的長度即可求得，易證△ADE∽△GCE，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

詳解：（1）證明：正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，

∵AF⊥AE，∴∠FAB+∠BAE=90°．

∵∠DAE+∠BAE=90°,

∴∠FAB=∠DAE．

∵∠FBA=∠D=90°，

∴△ABF≌△ADE．

∴AE=AF．

（2）解：在Rt△ABF中，∠FBA=90°,AF=7,BF=DE=2．

∴AB=,

∴EC=DC-DE=．

∵∠D=∠ECG=90°，∠DEA=∠CEG，

∴△ADE∽△GCE．

∴

∴EG=．