Question

已知二次函數

（1）求證：無論a為任何實數，二次函數的圖象與x軸

總有兩個交點.

（2）當x≥2時，函數值隨的增大而減小，求的取

值范圍.

（3）以二次函數圖象的頂點為一個頂點作該二次函數圖象的內接正三角形（M，N兩點在二次函數的圖象上），請問：△的面積是與a無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

 

Answer 1

 

（1）見解析

（2）

（3）見解析

解析:解：（1）

 無論a為何實數 …………………………(1分)

∴拋物線與x軸總有兩個交點……………………………………(2分)

（2）

       ……………………………………(3分)

∴由題意得，（只寫<或=其一，不給分）    ……………(4分)

（3）解法一：以二次函數圖象的頂點為一個頂點作

該二次函數圖象的內接正三角形（，兩點在二次函數的圖象上），

這個正三角形的面積只與二次函數圖形的開口大小有關。

二次函數的圖象可以看做是

二次函數的圖象通過平移得到的。

如圖，正三角形的面積等于正三角形的面積.因此，與a的取值無關

點在二次函數的圖象上

，，，

,

點在的圖象上，

 

舍去

                     ,

. 

正三角形AMN的面積是與a無關的定值,定值為.

解法二：根據拋物線和正三角形的對稱性，可知軸，

設拋物線的對稱軸與交于點，則

設

∴

又=

∴       ∴

∴                    

                          

∴  

∴正三角形AMN的面積是與a無關的定值