Question

如圖，直角梯形ABCD置于平面直角坐標系中，BC與x軸重合，點A在y軸上，且AD∥BC，AD=CD，若sin∠ABO=，梯形ABCD的面積為60．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點P從點A出發，沿AB向終點B運動，運動速度為每秒3個單位長度，過點P作AB的垂線交x軸于點E交y軸于點F，設點P的運動時間為t秒，線段EF長為y，求y與t的函數關系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接DE、DF，當cos∠EDF=時，求t的值．

Answer 1

解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四邊形ADCO為正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO=，
∴=，
∴=，
∴OA=OB，
∴S_梯形ABCD=（AD+OB+OC）•OA=×OB×OB=60，
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），則
，
解得，
故直線AB的解析式為：y=x+6；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB==10．
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF==，即=，
解得，AF=5t．
∴根據勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即=，
∴=，
∴y=-t+（0≤t＜）；

（3）∵=，
∴=，即OE=（6-5t），
∴CE=OC-OE=6-（6-5t）=+t．
∵cos∠EDF=，cos∠EDF是銳角，
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴點A關于直線DE的對稱點與點C關于直線DE的對稱點重合，即圖中的點G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t++t=-t+，
解得t=．
分析：（1）易證四邊形ADCO為正方形，然后由正弦三角函數的定義、勾股定理求得線段OB與OA的數量關系，最后由梯形的面積公式求得OA、OB的長度．由待定系數法求得直線AB的解析式；
（2）由（1）中OA、OB的長度，利用勾股定理求得AB=10；然后利用三角函數的定義求得AF=5t、PF=4t；最后根據對頂角相等、余弦三角函數的定義求得y與t的函數關系式．定義域由y所表示的實際意義來確定；
（3）易證得∠EDF=45°．又因為∠ADF+∠CDE=45°，所以AF+CE=EF．
點評：本題考查了一次函數綜合題．其中涉及到的知識點有勾股定理、解直角三角形、待定系數法求一次函數的解析式、梯形的面積公式等．