Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，動點M從點B出發，在BA邊上以2cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發，在CB邊上以cm/s的速度向點B勻速運動，設運動時間為ts（0≤t≤5），連接MN．

發現：BM＝　 　cm，BN＝　 　cm；（用含t的式子來表示）

猜想：（1）若BM＝BN，求t值；

（2）若△MBN與△ABC相似，求t值．

探究：是否存在符合條件的t，使△BMN與四邊形AMNC面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】發現：BM＝2tcm，BN＝cm；猜想：（1）t＝（10﹣15）秒；（2）或秒；探究：不存在時間t，使△BMN與四邊形AMNC面積相等，理由詳見解析．

【解析】

發現：利用路程等于速度乘以時間即可得出結論；

猜想：（1）利用BM＝BN建立方程求解即可得出結論；

（2）分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出結論；

探究：先求出△ABC的面積，進而求出△BMN的面積，最后用△BMN的面積建立方程，判斷出此方程無解，即可得出結論．

解：發現：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，

∴∠B＝30°，

∵AC＝5cm，

∴AB＝2AC＝10cm，BC=AC＝5cm，

由運動知，BM＝2t（cm），CN＝t（cm），

∴BN＝BC﹣CN＝5﹣t（cm），

故答案為：2t，（5﹣t）；

猜想：（1）∵BM＝BN，

∴2t＝5﹣t，

∴t＝（10﹣15）秒；

（2）∵△MBN與△ABC相似，

①當△MBN∽△ABC時，∴ ，

∴ ，

∴t＝ 秒，

②當△MBN∽△CBA時，∴，

∴，

∴t＝秒，

即：滿足條件的t的值為或秒；

探究：∵AC＝5，BC＝5 ，

∴S△ABC＝ACBC＝cm2，

∵△BMN與四邊形AMNC面積相等，

∴S△BMN＝S△ABC＝cm2，

如圖，過點M作MD⊥BC于D，

在Rt△BDM中，∠B＝30°，BM＝2t，

∴DM＝BM＝t，

∴S△BMN＝BNDM＝（5 ﹣t）t＝，

∴2t2﹣10t+25＝0，

而△＝102﹣4×2×25＝100﹣200＝﹣100＜0，

∴此方程無解，

即：不存在時間t，使△BMN與四邊形AMNC面積相等．