Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半徑為的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3．將Rt△ABC順時針旋轉120°后得到Rt△ADE，點B、C的對應點分別是點D、E．
（1）畫出旋轉后的Rt△ADE；
（2）求出Rt△ADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；
（3）判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖Rt△ADE就是要畫的圖形

（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，垂足為F，由Rt△ABC可知，NE=1，
在Rt△MFQ中，解得FQ=，故弦PQ的長度2．

（3）AD與⊙M相切．
證明：過點M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=，
在Rt△AMN中，tan∠MAN==，
∴∠MAN=30°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴AD與⊙M相切．
分析：（1）把三角形AB旋轉120°就能得到圖形．
（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的長；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根據垂徑定理知QF就是弧長PQ的一半．
（3）過M作AD的垂線設垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據角平分線的性質即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切．
點評：本題主要考查切線的判定，掌握切線的性質很重要，難度不大．