Question

王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級互相平行的踏板，每相鄰兩級踏板之間的距離都相等．已知梯子最上面一級踏板的長度A₁B₁=0.5m，最下面一級踏板的長度A₈B₈=0.8m．木工師傅在制作這些踏板時，截取的木板要比踏板長，以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為4cm的榫頭（如圖2所示），以此來固定踏板．現市場上有長度為2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），請問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請說明理由．（不考慮鋸縫的損耗）

Answer 1

分析：在解此題的過程中，一定要構建相似三角形，因為踏板之間是相互平行，而且間隔相等，所以可利用這一組平行線來構建相似三角形，從而依次求出自上而下各條踏板的長度．另外千萬不要忽略榫頭的長度；
解法二：可以把梯子看做一個等腰梯形，由中位線定理即可求解；
解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位線，只不過又做了一條踏板A₉B₉，有A₁B₁和A₉B₉能求出A₅B₅，然后有A₅B₅和A₉B₉求出A₇B₇，再有A₇B₇和A₉B₉求出A₈B₈=80，從而算出A₉B₉的具體數值，這樣的話，A₁B₁至A₈B₈的長就都能準確求出，從而算出一共需要多少材料．

解答：解：法一：如圖，設自上往下第2，3，4，5，6，7級踏板的長依次為A₂B₂，A₃B₃，A₇B₇，過A₁作B₁B₈的平行線分別交A₂B₂，A₃B₃，A₈B₈于點C₂，C₃，…，C₈．
∵每兩級踏板之間的距離相等，
∴C₈B₈=C₇B₇=…=C₂B₂=A₁B₁=50cm，A₈C₈=80-50=30cm．
∵A₂C₂∥A₈B₈，
∴∠A₁A₂C₂=∠A₁A₈C₈，∠A₁C₂A₂=∠A₁C₈A₈，
∴△A₁A₂C₂∽△A₁A₈C₈，
∴A₂C₂：A₈C₈=1：7，
∴A2C2=

30

7

，
∴A2B2=50+

30

7

，
設要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈這些踏板需用木板的長度分別為a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
則a₁=50+8=58，a2=50+

30

7

+8=58+

30

7

，a3=58+

60

7

，a4=58+

90

7

，a5=58+

120

7

，a6=58+

150

7

，a7=58+

180

7

，a₈=58+30，
∵a1+a2+a3+a4=232+

180

7

＞210，
∴王大伯買的木板肯定不能少于3塊，
又∵a1+a3+a6=174+

210

7

=204＜210，
a2+a4+a5=174+

240

7

＜174+

252

7

=210，
a7+a8=146+

180

7

=171

5

7

＜210，
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了．

法二：如圖，分別取A₁A₈，B₁B₈的中點P，Q，連接PQ．
設自上往下第2，3，4，5，6，7級踏板的長依次為A₂B₂，A₃B₃，…，A₇B₇，則由梯形中位線定理可得：
A₁B₁+A₈B₈=A₂B₂+A₇B₇=A₃B₃+A₆B₆=A₄B₄+A₅B₅=2PQ．（2分）
∵A₁B₁=50cm，A₈B₈=80cm，
∴A₁B₁+A₈B₈=A₂B₂+A₇B₇=A₃B₃+A₆B₆=A₄B₄+A₅B₅=130．（3分）
設要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈，
這些踏板需用木板的長度為a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
則a₁+a₈=a₂+a₇=a₃+a₆=a₄+a₅=146．
∵a₁+a₂+…+a₈=146×4=584＞210×2，
∴王大伯買的木板肯定不能少于3塊．（4分）
過A₁作B₁B₈的平行線分別交A₂B₂，A₃B₃，…，A₈B₈，
于點C₂，C₃，…，C₈．
∵每兩級踏板之間的距離相等，
∴C₈B₈=C₇B₇=…=C₂B₂=A₁B₁=50cm，A₈C₈=80-50=30cm．
∵A₂C₂∥A₈B₈，
∴∠A₁A₂C₂=∠A₁A₈C₈，∠A₁C₂A₂=∠A₁C₈A₈，
∴△A₁A₂C₂∽△A₁A₈C₈，
∴A₂C₂：A₈C₈=1：7，
∴A2C2=

30

7

，
∴A2B2=50+

30

7

，（6分）
∴a2=58+

30

7

．
而a₁=58，a₈=88，
∴a₁+a₃+a₆=58+146=204＜210，a2+a4+a5=58+

30

7

+146=204+

30

7

＜210，a₇+a₈＜a₈+a₈=88×2＜210．
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了．（8分）

法三：如果在梯子的下面再做第9級踏板，
它與其上面一級踏板之間的距離等于梯子相鄰兩級踏板之間的距離（如圖），
設第9級踏板的長為xcm，
則由梯形中位線的性質可得：
第5級踏板的長A₅B₅=

1

2

（50+x）cm，
第7級踏板的長A₇B₇=

1

2

[

1

2

（50+x）+x]cm，
由題意得：
第8級踏板的長A₈B₈=

1

2

{

1

2

[

1

2

（50+x）+x]+x}=80，
解這個方程得：
x=84

2

7

，（2分）
由此可求得：
A7B7=75

5

7

cm，A5B5=67

1

7

cm，A6B6=71

3

7

cm，A3B3=58

4

7

cm，A2B2=54

2

7

cm，A4B4=62

6

7

cm．
設要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈，這些踏板需截取的木板長度分別為a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
則a₁=50+8=58，a2=62

2

7

，a3=66

2

7

，a4=70

6

7

，a5=75

1

7

，a6=79

3

7

，a7=83

5

7

，a₈=88．
∴a₁+a₃+a₆=58+146=204＜210，a2+a4+a5=58+

30

7

+146=204+

30

7

＜210，a₇+a₈＜a₈+a₈=88×2＜210．
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了（5分）

點評：此題構建相似三角形是關鍵，只要將實際問題轉化為數學問題，利用相似比即可求出，相對來講，方法三還是比較簡單的．