Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于點，點，對稱軸為的拋物線過兩點，且交軸于另一點，連接．

（1）直接寫出點，點，點的坐標和拋物線的解析式；

（2）已知點為第一象限內拋物線上一點，當點到直線的距離最大時，求點的坐標；

（3）拋物線上是否存在一點（點除外），使以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點；（3）點的坐標為：或或．

【解析】

（1）y=x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=6，故點B、C的坐標分別為：（6，0）、（0，3），即可求解；

（2）PH=PGcosα=,即可求解；

（3）分點Q在x軸上方、點Q在x軸下方兩種情況，分別求解．

（1），令，則，令，則，

故點的坐標分別為、，

拋物線的對稱軸為，則點，

則拋物線的表達式為：，

即，解得：，

故拋物線的表達式為：

（2）過點作軸的平行線交于點，作于點，

將點坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的表達式為：，

則，，則，

設點，則點，

則

∵，故有最小值，此時，

則點；

（3）①當點在軸上方時，

則點為頂點的三角形與全等，此時點與點關于函數對稱軸對稱，

則點；

②當點在軸下方時，

為頂點的三角形與相似，則，

當時，

直線BC表達式的值為，則直線表達式的值為，

設直線表達式為：，將點的坐標代入上式并解得：

直線的表達式為：…②，

聯立①②并解得：或﹣8（舍去6），

故點坐標為（舍去）；

當時，

同理可得：直線的表達式為：…③，

聯立①③并解得：或﹣10（舍去6），

故點坐標為，

由點的對稱性，另外一個點的坐標為；

綜上，點的坐標為：或 或．