Question

在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，等邊三角形OAB的一個頂點為A（2，0），另一個頂點B在第一象限內．
（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；
（2）如果一個四邊形是以它的一條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”．點Q在（1）的拋物線上，且以O、A、B、Q為頂點的四邊形是“箏形”，求點Q的坐標；
（3）設△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點Q與⊙M的位置關系，并通過計算說明理由．

Answer 1

解：（1）過B作BC⊥x軸于C．
∵等邊三角形OAB的一個頂點為A（2，0），
∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°．
∴BC=．
∴B．
設經過O、A、B三點的拋物線的
解析式為：．
將A（2，0）代入得：，
解得．
∴經過O、A、B三點的拋物線的解析式為．
即；

（2）依題意分為三種情況：
（�。┊斠設A、OB為邊時，
∵OA=OB，
∴過O作OQ⊥AB交拋物線于Q．
則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°．
作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，
設Q，則．
解得：．
∴Q．
（ⅱ）當以OA、AB為邊時，由對稱性可知Q．
（ⅲ）當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形．
∴Q或．

（3）點Q在⊙M內．
由等邊三角形性質可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點，
當Q時，
∵MC∥QD，
∴△OMC∽△OQD．
∴．
∴．
∴．
∴MQ==．
又，
∵＜，
∴Q在⊙M內．
當Q時，由對稱性可知點Q在⊙M內．
綜述，點Q在⊙M內．
分析：（1）先求出點B，則設拋物線的頂點式，將點A代入即得到方程式；
（2）（�。┊斠設A、OB為邊時，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點Q．（ⅱ）當以OA、AB為邊時，由對稱性求得Q．（ⅲ）當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形．求得點Q．
（3）點Q在⊙M內．由等邊三角形性質可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點，求得△OMC∽△OQD．從而求得點M，進而求得MQ，從而求得點Q的位置．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，（1）先求出點B，則設拋物線的頂點式，將點A代入即得到方程式；（2）（�。┊斠設A、OB為邊時，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點Q．（ⅱ）當以OA、AB為邊時，由對稱性求得Q．（ⅲ）當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形．求得點Q．（3）點Q在⊙M內．由等邊三角形性質可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點，求得△OMC∽△OQD．從而求得點M，進而求得MQ，從而求得點Q的位置．本題有一定難度，思路性強．