Question

（12分）如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上任取一點E（點E不與點A、點B
重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成3個三角形．如果其中有2個三角形
相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點；如果這3個三角形都相似，
我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強相似點．

（1）若圖1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，說明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點；
（2）①如圖2，畫出矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點．（要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要的說明．）
②對于任意的一個矩形，是否一定存在強相似點？如果一定存在，請說明理由；如果不一定存在，請舉出反例．
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，判斷AE與BE的數量關系并說明理由．

Answer 1

解：（1）理由：∵∠A＝50°，
∴∠ADE＋∠DEA＝130°．
∵∠DEC＝50°，
∴∠BEC＋∠DEA＝130°．
∴∠ADE＝∠BEC． …………………………………………………………1分
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC． …………………………………………………………2分
∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點． ……………………………3分
（2）①以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求．（若不用圓規畫圖，則必須在圖上標注直角符號或對直角另有說明．）………………………5分
②對于任意的一個矩形，不一定存在強相似點，如正方形．(答案不惟一，若學生畫圖說明也可．) ………………………………………………………6分
（3）第一種情況：
∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠ADE＝∠BEC＝∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC．
方法一：
如圖1，延長DE，交CB的延長線于點F，………………………………7分

說明DE＝EF，………………………………………………………………8分
說明AE＝BE．………………………………………………………………9分
方法二：
如圖2，過點E作EF⊥DC，垂足為F．………………………………7分

因為∠ADE＝∠CDE，∠BCE＝∠DCE，
所以AE＝EF，EF＝BE．
所以AE＝BE．………………………………………………………………9分
方法三：
由△ADE∽△EDC可得＝，即AE＝．  …………………7分
同理，由△BEC∽△EDC可得＝，即BE＝，……………8分
所以AE＝BE．………………………………………………………………9分
第二種情況：
如圖3，∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，

即△ADE∽△BCE∽△DCE．
所以∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝60°，……………………………………10分
說明AE＝DE，BE＝CE，DE＝CE，
（或說明BE＝DE，AE＝DE，）
所以AE＝BE．
綜上，AE＝BE或AE＝BE．………………………………………………12分

略