Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0
（1）若直線l與曲線C沒有公共點，求m的取值范圍；
（2）若m=0，求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標方程對應的直角坐標方程為x2+y2﹣2x﹣4=0，即（x﹣1）2+y2=5

直線l的參數方程為 ，代入并整理可得t2+（ m﹣1）t+m2﹣4=0

∵直線l與曲線C沒有公共點，

∴△=（ m﹣1）2﹣4（m2﹣4）＜0，

∴m＜﹣ ﹣2 或m＞﹣ +2 ；

（2）解：若m=0，直線l的極坐標方程為θ= ，代入C的極坐標方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0．

直線l被曲線C截得的弦的端點的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，

∴直線l被曲線C截得的弦長=|ρ1﹣ρ2|= = ．

【解析】（1）曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，直線l的參數方程為 ，代入并整理可得t2+（ m﹣1）t+m2﹣4=0，利用直線l與曲線C沒有公共點，即可求m的取值范圍；（2）若m=0，若m=0，直線l的極坐標方程為θ= ，代入C的極坐標方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用極徑的意義求直線l被曲線C截得的弦長．