Question

如圖，已知直線與雙曲線在第一象限交于A點，且點A的橫坐標為4，點B在雙曲線上．
（1）求雙曲線的函數解析式；
（2）若點B的縱坐標為8，試判斷△OAB形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）將x=4代入，得y=2，
∴點A的坐標為（4，2），
將A（4，2）代入，得k=8，
∴；

（2）△OAB是直角三角形．
理由：y=8代入中，得x=1，
∴B點的坐標為（1，8），
又A（4，2），O（0，0），
由兩點間距離公式得，，，
∵OA²+AB²=20+45=65=OB²，
∴△OAB是直角三角形．
分析：（1）將A點橫坐標x=4代入中，得A點縱坐標y=2，可知點A的坐標為（4，2），再將A（4，2）代入求k即可；
（2）點B在雙曲線上，將y=8代入得x=1，即B（1，8），已知A（4，2），O（0，0），根據兩點間距離公式分別求OA，AB，OB，利用勾股定理的逆定理證明△OAB是直角三角形．
點評：本題考查了一次函數與反比例函數的交點坐標求法，反比例函數關系式的求法，直角三角形的判定．關鍵是利用交點坐標將問題過渡．