Question

某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫療站，如圖，在A地北偏東45°、B地北偏西60°方向上有一牧民區C．一天，甲醫療隊接到牧民區的求救電話，立刻設計了兩種救助方案，方案Ⅰ：從A地開車沿公路到離牧民區C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區C．方案Ⅱ：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區C．已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍．

(1)求牧民區到公路的最短距離CD．

(2)你認為甲醫療隊設計的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由．

(結果精確到0.1，參考數據：取1.73，取1.41)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設CD為x千米，由題意得，∠CBD＝30°，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x　1分 　　在Rt△BCD中，tan30°＝，所以BD＝x　2分 　　∵AD＋DB＝AB＝40，∴x＋x＝40　分 　　解得x≈14.7 　　所以，牧民區到公路的最短距離CD為14.7千米．　4分 　　(若用分母有理化得到CD＝14.6千米，可得4分) 　　(2)設汽車在草地上行駛的速度為v，則在公路上行駛的速度為3v， 　　在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∴AC＝CD， 　　方案Ⅰ用的時間t1＝　5分 　　方案Ⅱ用的時間t2＝　6分 　　所以，t1－t2＝＝　7分 　　因為3－4＞0， 　　所以t1－t2＞0．　8分 　　所以方案Ⅰ用的時間少，方案Ⅰ比較合理．　9分