Question

【題目】直線y＝x+8分別與x軸、y軸相交于點M，N，邊長為4的正方形OABC一個頂點O在坐標系的原點，直線AN與MC相交于點P，若正方形繞著點O旋轉一周，則PC長度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4﹣4．

【解析】

首先證明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN為直徑的圓上，所以當圓心G，點P，C三點共線時，PC長度的最小值．求出此時的PC即可．

在△MOC和△NOA中，

∵，∴△MOC≌△NOA（SAS），∴∠CMO=∠ANO．

∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，

∴∠NCP+∠CNP=90°，

∴∠MPN=90°，

∴MP⊥NP．

在正方形旋轉的過程中，同理可證，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，

∴P在以MN為直徑的圓上．

∵直線y=x+8分別與x軸、y軸相交于點M，N，

∴M（﹣8，0），N（0，8），

∴圓心G為（﹣4，4），半徑為4，

∵PG﹣GC≤PC，

∴當圓心G，點P，點C三點共線時，PC最小．

∵GN=GM，CN=CO=4，∴GCOM=4，

這個最小值為GP﹣GC=44．

故答案為：44．