Question

（2009•九龍坡區一模）對于正數x，規定f（x）=

x

1+x

，比如 f（3）=

3

1+3

，f(

1

2

)=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，則計算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f(

1

100

)+f(

1

99

)+…+f(

1

3

)+f(

1

2

)+f（1）=

100

．

Answer 1

分析：仔細觀察所給式子，然后根據f（1）+f（1）=1，f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…即可得出規律，繼而可得出結果．

解答：解：由題意得，f（1）=

1

2

，故f（1）+f（1）=1；
f（2）=

2

3

，f（

1

2

）=

1

3

，故f（2）+f（

1

2

）=1；
f（3）=

3

4

，f（

1

3

）=

1

4

，故f（3）+f（

1

3

）=1；
…
故可得f（n）+f（

1

n

）=1，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f(

1

100

)+f(

1

99

)+…+f(

1

3

)+f(

1

2

)+f（1）=100．
故答案為：100．

點評：本題考查了分式的求值，解答此題的關鍵是理解好f（x）=

x

x+1

，同時對整理好的分式要注意觀察特點，能夠看出

1

101

+

100

101

，其他分式亦如此．