Question

19．已知關于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k+1=0（k≠0）．
（1）求證：無論k取何值，方程總有兩個不相等實數根；
（2）當k＞1時，判斷方程兩根是否都在-2與0之間．

Answer 1

分析 （1）計算判別式得到△=（2k+1）²-4k×（k+1）=1＞0，則可根據判別式的意義得到結論；
（2）利用因式分解法求出方程的兩個根x₁=-1，x₁=-k-1，根據k＞1得出-k-1＜-2，進而得到結論．

解答 （1）證明：∵a=k，b=2k+1，c=k+1，
∴△=b²-4ac=（2k+1）²-4k×（k+1）=4k²+4k+1-4k²-4k=1＞0，
∴無論k（k≠0）取何值時，方程總有兩個不相等的實數根．

（2）解：kx²+（2k+1）x+k+1=0，
（x+1）（kx+k+1）=0，
∴x₁=-1，x₁=-$\frac{1}{k}$-1，
∵k＞1，
∴-k＜-1，
∴-$\frac{1}{k}$-1＞-2，
∴當k＞1時，方程的兩根都在-2與0之間．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了因式分解法解一元二次方程．