Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．
（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面積；
（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．

Answer 1

解：（1）連AC，過C作CM⊥AD于M，如圖，
在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，
∴AC=10，
∴BC=8，
在Rt△CDM中，∠D=45°，
∴DM=CM=AB=6，
∴AD=6+8=14，
∴梯形ABCD的面積=•（8+14）•6=66（cm²）；

（2）證明：過G作GN⊥AD，如圖，
∵∠D=45°，
∴△DNG為等腰直角三角形，
∴DN=GN，
又∵AD∥BC，
∴∠BFH=∠FHN，
而∠EFH=∠FHG，
∴∠BFE=∠GHN，
∵EF=GH，
∴Rt△BEF≌Rt△NGH，
∴BE=GN，BF=HN，
∴DH=HN+DN=HN+NG=BF+BE．
分析：（1）連AC，過C作CM⊥AD于M，在Rt△ABC中，利用三角函數求出BC，在Rt△CDM中，∠D=45°，利用等腰直角三角形的性質得到DM=CM=AB=6，則AD=6+8=14，然后根據梯形的面積公式計算即可；
（2）過G作GN⊥AD，則DN=GN，由AD∥BC，得∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，得到∠BFE=∠GHN，易證Rt△BEF≌Rt△NGH，則BE=GN，BF=HN，經過代換即可得到結論．
點評：本題考查了解有關直角梯形的問題的方法：把直角梯形的問題轉化為解直角三角形的問題．也考查了全等三角形的判定與性質以及解直角三角形．