Question

如圖，平面直角坐標系中，△ABC為等邊三角形，其中點A、B、C的坐標分別為（-3，-1）、（-3，-3）、（-3+，-2）．現以y軸為對稱軸作△ABC的對稱圖形，得△A₁B₁C₁，再以x軸為對稱軸作△A₁B₁C₁的對稱圖形，得△A₂B₂C₂．
（1）直接寫出點C₁、C₂的坐標；
（2）能否通過一次旋轉將△ABC旋轉到△A₂B₂C₂的位置？你若認為能，請作出肯定的回答，并直接寫出所旋轉的度數；你若認為不能，請作出否定的回答（不必說明理由）；
（3）設當△ABC的位置發生變化時，△A₂B₂C₂、△A₁B₁C₁與△ABC之間的對稱關系始終保持不變．
①當△ABC向上平移多少個單位時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合并直接寫出此時點C的坐標；
②將△ABC繞點A順時針旋轉α°（0≤α≤180），使△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時α的值為多少點C的坐標又是什么？

Answer 1

解：（1）點C₁、C₂的坐標分別為（3-，-2）、（3-，2）．

（2）能通過一次旋轉將△ABC旋轉到△A₂B₂C₂的位置，所旋轉的度數為180°；

（3）①當△ABC向上平移2個單位時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標為（-3+，0）（如圖1）；
②當α=180時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標為（-3-，0）（如圖2）．
分析：（1）直接根據軸對稱的性質：縱坐標不變橫坐標變為原來的相反數可求；
（2）利用旋轉的性質可知：旋轉的度數為180°能通過一次旋轉將△ABC旋轉到△A₂B₂C₂的位置；
（3）根據圖形和平移的性質可知①當△ABC向上平移2個單位時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標為（-3+，0）；
利用旋轉的性質可知②當α=180時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標為（-3-，0）．
點評：本題考查軸對稱和旋轉、平移的性質．旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意旋轉的三要素：①定點-旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度．掌握旋轉，平移和軸對稱的性質是解題的關鍵．