Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=，∠BCD=120°，M為對角線BD上一點（M不與點B、D重合），過點MN∥CD，使得MN=CD，連接CM、AM、BN.

（1）當∠DCM=30°時，求DM的長度；

（2）如圖2，延長BN、DC交于點E，求證：AM·DE=BE·CD；

（3）如圖3，連接AN，則AM+AN的最小值是 .

Answer 1

【答案】（1）1;（2）見解析;（3）當BN⊥CD時有最小值3.

【解析】

（1）過點M作MP⊥CD于點P，根據菱形的性質求∠DCM=30°，進而可知∠CDM=∠DCM，△DMC是等腰三角形，再利用等腰三線合一，求得，進而可得DM值.

（2）先根據已知條件證得四邊形ABCD是平行四邊形，求得MN=CD，NB=AM，利用平分線所分線段對應成比例得到，再進行等量代換即可答案.

（3）根據題意可知當AM⊥MN時，AM+AN的最小值，利用特殊三角函數值求得此時AM、MN的值即可.

（1）

過點M作MP⊥CD于點P

∵四邊形ABCD是菱形, AB=

∴CD=AB=BC=

∴∠CDB=

∵∠DCM=30°

∴∠CDM=∠DCM

∴△DMC是等腰三角形

∵MP⊥CD

∴

∴DM=

（2）∵四邊形ABCD 是菱形

∴CD=AB，AB∥CD

∵MN=CD，MN∥CD

∴MN=AB，MN∥AB

∴四邊形ABMN是平行四邊形

∴NB=AM

∵MN∥CD

∴

∵MN=CD，NB=AM

∴即AM·DE=BE·CD

（3）由（2）可知MN=AB=,那么根據題意當AM⊥MN時，AM+AN最短.

∵∠CDB=（已求），DC∥AB

∴∠MBA=∠CDB=

∵AM⊥MN,MN∥AB

∴∠MAB=

∵AB=

∴AM=1

∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得

則AM+AN=1+2=3

∴當BN⊥CD時，AM+AN有最小值3.