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在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC與點D，DE⊥DB交AB于點E．
（1）設⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O交BC于點F，連接EF，求
EF
AC
的值．
（1）證明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓
∴BE是⊙O的直徑，點O是BE的中點，連接OD（1分）
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD為∠ABC的平分線
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°（4分）
又∵OD是⊙O的半徑
∴AC是⊙O的切線（5分）

（2）設⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，AB2=BC2+CA2=92+122=225
∴AB=15（7分）
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴
AO
AB
=
OD
BC

∴
15-r
15
=
r
9

∴r=
45
8

∴BE=2r=
45
4
，（10分）
又∵BE是⊙O的直徑
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴
EF
AC
=
BE
BA
=
45
4
15
=
3
4
（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．
證明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切線．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，若∠A=70°，則∠BOC的度數為（　　）
A．130°B．120°C．110°D．100°

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，⊙O1和⊙O2外切于點A，直線BD切⊙O1于點B，交⊙O2于點C、D，直線DA交⊙O1于點E．
（1）求證：∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）求證：AB2=AC•AE．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°，在AC邊上取點O畫圓使⊙O經過A、B兩點，
（1）求證：以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切．
（2）下列結論正確的序號是______．（少選酌情給分，多選、錯均不給分）
①AO=2CO；
②AO=BC；
③延長BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點．
④圖中陰影面積為：(
1
3
π+
3
8
)•OA2．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．下列結論錯誤的是（　　）
A．MN=
4
3
3
B．l1和l2的距離為2
C．若∠MON=90°，則MN與⊙O相切
D．若MN與⊙O相切，則AM=
3

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=
5
，求AB的長．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于E、F，AE=
3
．
（1）求弧EF的長．
（2）若AD=
3
+5，直線MN分別交DA、DC于點M、N，∠DMN=60°，將直線MN沿射線DA方向平移，當MN和⊙O第一次相切時，求點D到直線MN的距離．
（3）若點D到直線MN的距離為4時，請直接寫出⊙O和直線MN的位置關系．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為
BC
的中點，DE垂直于AC的延長線于E，連接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列結論一定錯誤的是（　�。�
A．DE是⊙O的切線B．直徑AB長為20cm
C．弦AC長為16cmD．C為
AD
的中點

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