Question

如圖，正方形ABCD的邊長為5，點F為正方形ABCD內的點，△BFC經逆時針旋轉后能與△BEA重合．
（1）旋轉中心是哪一點？旋轉了多少度？
（2）判斷△BEF是怎樣的三角形？并說明理由；
（3）若BE=3，FC=4，說明AE∥BF．

Answer 1

解：（1）∵△BFC經逆時針旋轉后能與△BEA重合，
∴旋轉中心是點B，
∵ABCD是正方形，
∴旋轉了90°；
（2）△BEF是等腰直角三角形．理由如下：
∵△BFC經逆時針旋轉后能與△BEA重合，
∴∠1=∠2，BF=BE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠1+∠3=∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（3）在△BFC中，BF²+FC²=3²+4²=25=BC²，
∴△BFC是直角三角形，∠BFC=90°．
∵△BFC≌△BEA，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
∴BE⊥AE．
∵BE⊥BF，
∴AE∥BF．
分析：（1））根據△BFC經逆時針旋轉后能與△BEA重合，點F在正方形ABCD內，得出旋轉中心是點B，再根據ABCD是正方形，得出旋轉了90°；
（2）根據已知條件得出∠1=∠2，BF=BE，再根據四邊形ABCD是正方形，得出∠1+∠3=∠ABC=90°和∠2+∠3=∠EBF=90°，即可判斷出△BEF的形狀；
（3）根據在△BFC中BF²+FC²=3²+4²=25=BC²，得出△BFC是直角三角形，再根據△BFC≌△BEA得出∠BEA=∠BFC=90°，從而得出BE⊥AE，即可證出AE∥BF．
點評：本題主要考查了正方形、旋轉的性質，全等三角形的判定及性質，等腰直角三角形等知識，綜合性較強，有一定難度．