
解:(1)∵EF平分直角梯形ABCD的周長,BE=x,
x+BF=10-BF+6+8+12-x,
BF=18-x
由已知,得梯形周長=36,高=8,面積=72.
過點F作FG⊥BC于點G,過點A作AK⊥BC于點K,
則△BFG∽△BAK,

=

,

=

,
可得FG=

)
S
△BEF=

(2)不存在.
由(1)

=36,
整理得:(x-9)
2=-9,此方程無解.
不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分.
(3)由已知易知,線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1:2兩部分,只能是FB+BE與FA+AD+DC+CE的比是1:2.
k=S
1:S
2=

要使k取最大值,只需S
1取最大值.
與(1)同理,FG=

S
1=

,
當x=6時,S
1取最大值

.此時k=

∴k的最大值是

.
分析:(1)由已知,得梯形周長=36,高=8,面積=72.用含x的代數式表示△BEF的面積,只需求FG即可;
(2)根據函數關系式無解,知不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分.
(3)由已知易知,線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1:2兩部分,只能是FB+BE與FA+AD+DC+CE的比是1:2,則有k=S
1:S
2=

,要使k取最大值,只需S
1取最大值,根據S
△BEF=

,求出S
1取最大值

.得出k的最大值是

.
點評:本題結合直角梯形的性質考查二次函數的綜合應用,注意此題三角形邊與面積,梯形周長,高,面積相互間的關系.