Question

如圖，直線y=﹣2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△OAB繞點O逆時針方向旋轉90°后得到△OCD．
（1）填空：點C的坐標是（　　，　　），點D的坐標是（　　，　　）；
（2）設直線CD與AB交于點M，求線段BM的長；
（3）在y軸上是否存在點P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
 

Answer 1

（1）點C的坐標是（0，1），點D的坐標是（﹣2，0）
（2）．
（3）存在，所有滿足條件的點P的坐標是P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣）、P₃（0，）、P₄（0，）．

解：（1）y=﹣2x+2，
當x=0時，y=2，
當y=0時，x=1
，∴A（1，0），B（0，2），
∵將△OAB繞點O逆時針方向旋轉90°后得到△OCD，
∴OC=0A=1，OD=OB=2，
∴點C的坐標是（0，1），點D的坐標是（﹣2，0），
故答案為：0，1，﹣2，0．
（2）由（1）可知：CD==，BC=1，
又∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC（有兩角對應相等的兩三角形相似），
∴=，
即=，
∴BM==，
答：線段BM的長是．
（3）存在，
分兩種情況討論：
①以BM為腰時，
∵BM=，又點P在y軸上，且BP=BM，
此時滿足條件的點P有兩個，它們是P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣），
過點M作ME⊥y軸于點E，
∵∠BMC=90°，則△BME∽△BCM，
∴=，
∴BE==，
又∵BM=PM，
∴PE=BE=，
∴BP=，
∴OP=2﹣=，
此時滿足條件的點P有一個，它是P₃（0，），
 
②以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點P、F，
由（2）得∠BMC=90°， 
∴PF∥CM，
∵F是BM的中點，
∴BP=BC=，
∴OP=OB﹣BP=2﹣=，
此時滿足條件的點P有一個，它是P₄（0，），
綜上所述，符合條件的點P有四個，
它們是：P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣）、P₃（0，）、P₄（0，）．
答：存在，所有滿足條件的點P的坐標是P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣）、P₃（0，）、P₄（0，）．
 
（1）把x=0，y=0分別代入解析式求出A、B的坐標，即可得出C、D的坐標；
（2）根據勾股定理求出CD，證△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；
（3）有兩種情況：①以BM為腰時，滿足BP=BM的有兩個；過點M作ME⊥y軸于點E，證△BME∽△BCM，求出BE、PE，進一步求出OP即可；②以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點P、F，根據等腰三角形的性質求出即可．