Question

如圖，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，AB=1cm，過B作BG∥AC，過A作AE∥CG，且∠ACG：∠G=5：1，以下結論：①AE=cm；②四邊形AEGC是菱形；③S_△BDC=S_△AEC；④CE=cm；⑤△CFE為等腰三角形，其中正確的有

1. A.
   ①③⑤
2. B.
   ②③⑤
3. C.
   ②④⑤
4. D.
   ①②④

Answer 1

B
分析：過C作AM垂直于BG，交BG于M，由已知的兩組對邊平行得到四邊形AECG為平行四邊形，可得一對同旁內角互補，再由已知的兩角之比，分別求出兩個角，得到∠ACG為150°，∠G為30°，在直角三角形CGM中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到CM為CG的一半，又正方形ABCD，得到三角形ABC為等腰直角三角形，O為AC的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OB等于AC的一半，根據平行線間的距離相等得到CM=OB，利用等量代換可得AC=CG，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得AECG為菱形，故選項②正確；由正方形的邊長，利用勾股定理求出AC的長，即為菱形的邊長，可得AE的長，對選項①作出判斷；由正方形ABCD得到四條邊相等，四個角為直角，可得三角形ABC與三角形BCD全等，可得兩三角形的面積相等，又根據平行線間的距離相等，得到三角形ABC與三角形AEC中AC邊上的高相等，得到這兩個三角形的面積公式，等量代換可得三角形BCD與三角形ACE的面積相等，選項③正確；根據菱形的對角線平分一組對角，得到∠CEF的度數，再由∠CFE為三角形ACF的外角，利用外角性質求出∠CFE的度數，發現∠CEF=CFE，利用等角對等邊可得三角形CEF為等腰三角形，選項⑤；假設CE為cm，在直角三角形CMG中，由斜邊CG的長，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CM的長，發現直角三角形CEM中，斜邊CE小于直角邊CM，矛盾，故假設錯誤，選項④錯誤．
解答：過C作CM⊥EG于M，
∵BG∥AC，AE∥CG，
∴四邊形AEGC為平行四邊形，
∴∠ACG+∠G=180°，又∠ACG：∠G=5：1，
∴∠G=×180°=30°，∠ACG=×180°=150°．
在直角三角形CGM中，∠G=30°，
∴CM=CG，
又四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，AC與BD互相平分，
在直角三角形ABC中，BO為斜邊AC的中點，
∴BO=AC，
∵AC∥BG，
∴CM=OB，
∴CG=AC，
∴四邊形AEGC為菱形，選項②正確；
∵CD=AB，BC=CB，∠BCD=∠ABC=90°，
∴△BDC≌△ABC（SAS），
∴S_△BDC=S_△ABC，
又根據平行線間的距離相等，底邊都為AC，
∴S_△ABC=S_△ACE，
∴S_△BDC=S_△ACE，選項③正確；
∵△ABC為等腰直角三角形，AB=BC=1cm，
∴根據勾股定理得：AC=cm，
又四邊形AECG為菱形，∴AE=AC=cm，選項①錯誤；
在直角三角形CGM中，∠G=30°，
∴CM=CG=cm，
若CE=cm，＜，斜邊小于直角邊，矛盾，
則CE≠cm，選項④錯誤；
∵四邊形AECG為菱形，∠ACG=∠AEG=150°，
∴EC平分∠AEG，即∠AEC=∠AEG=75°，
∵∠CFE為△ACF的外角，且∠CAE=∠G=30°，∠ACB=45°，
∴∠CFE=∠CAE+∠ACB=75°，
∴∠AEC=∠CFE=75°，
∴CE=CF，即△CEF為等腰三角形，選項⑤正確，
則正確的選項有②③⑤．
故答案為：②③⑤．
點評：此題考查了正方形的性質，菱形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，三角形的外角性質，含30°角的直角三角形的性質，以及勾股定理，是一道綜合性較強的題．